1、从生活场景理解数学原理
你是不是遇见过如此的问题：用固定长度的围栏围出最大面积的场地？或者用有限的材料设计最佳的容器？这类问题看上去复杂，但仅需学会一个简单原理——“和肯定，差小积大”，就能轻松解决。
这句话的意思是：当两个数的和固定时，它们的差距越小，乘积越大；差距越大，乘积越小。譬如：
- 3 + 7 = 10，乘积是21；
- 5 + 5 = 10，乘积是25。
显然，相等时的乘积更大。这一原理在几何、代数甚至经济学中都有广泛应用。下面通过具体例题，面对面告诉你怎么样灵活运用！
2、基础应用：无约束条件的面积问题
例题1：用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，面积最大是多少？
剖析：
- 周长固定为60米，因此长+宽=30米（即a + b = 30）。
- 依据“差小积大”，当a = b = 15米时，面积最大：
15 × 15 = 225平米。
重点：当问题仅涉及周长与面积时，最佳解肯定是正方形！
3、进阶场景：借用墙体或特殊结构
1. 借用一个墙角（两面墙）
例题2：用60米铁板围成长方形鸡窝，借用一个墙角，最大面积是多少？
剖析：
- 墙角天然提供两条边，因此仅需围另外两边（即a + b = 60）。
- 当a = b = 30米时，面积最大：30 × 30 = 900平米。
考虑：为何面积比率题1大？由于节省了两条边的材料！
2. 借用一面墙
例题3：用60米铁板围成长方形鸡窝，借用一面墙，最大面积是多少？
剖析：
- 墙面替代一条长边，因此周长为“长 + 2×宽 = 60”（即a + 2b = 60）。
- 将问题转化为“a与2b的和固定”，当a = 2b = 30米时，乘积最大：
- a = 30米，b = 15米，面积= 30 × 15 = 450平米。
易错点：学生常直接套用“a + b = 30”，忽视墙面带来的结构变化！
4、复杂结构：多地区并列问题
1. 两个并列鸡窝
例题4：用60米铁板围成两个并列鸡窝，借用一面墙，每一个鸡窝的最大面积是多少？
剖析：
- 结构需满足“2条长边 + 3条短边 = 60”（即2a + 3b = 60）。
- 转化为“2a与3b的和固定”，当2a = 3b = 30米时，乘积最大：
- a = 15米，b = 10米，每一个鸡窝面积= 15 × 10 = 150平米。
2. 五个并列鸡窝
例题5：用60米铁板围成五个并列鸡窝，借用一面墙，每一个鸡窝的最大面积是多少？
剖析：
- 结构需满足“5条长边 + 6条短边 = 60”（即5a + 6b = 60）。
- 当5a = 6b = 30米时，乘积最大：
- a = 6米，b = 5米，每一个鸡窝面积= 6 × 5 = 30平米。
规律总结：并列结构越多，单个地区的面积越小，但总借助率可能更高！
5、原理拓展：为何“差小积大”成立？
大家可以用代数验证这一原理：
设两数之和为C，即a + b = C，则乘积P = a × b = a × = –a + C·a。
这是一个开口向下的抛物线，最大值出目前顶点（a = C/2）。此时a = b = C/2，验证了“差小积大”的正确性。
6、常见问题与避坑指南
1. 忽视结构约束：如例题3中误将“a + 2b = 60”简化为“a + b = 30”。
2. 错误分配变量：例题4中若未将“2a + 3b”整体视为“和肯定”，会致使计算错误。
3. 忘记单位换算：实质问题中应该注意单位是不是统一（如米、厘米）。
7、实战演练：测一下你学会了吗？
1. 用40米篱笆围一个靠墙的长方形花园，最大面积是多少？
2. 用100米铁板围成三个并列仓库（靠墙），每一个仓库的最大面积是多少？
答案揭晓：
1. 长20米，宽10米，面积200平米；
2. 长20米，宽约8.33米，每一个面积约166.67平米。
